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用逆向思维解初三难题

【 发布作者 北京家教】

    不少数学试题所考查的知识点并不难,但是解题时必须从相反方向考虑(称为“逆向思维”),同学们必须重视培养这种有用的能力。 

  一、数学概念的反问题 

  例1 若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5,求x的取值范围。 

  分析:原式=|1-x|-|x-4| 

  根据题意,要化成:x-1-(4-x)=2x-5 

  从绝对值概念的反方向考虑,推出其条件是: 

  1-x≤0,且x-4≤0 

  ∴x的取值范围是:1≤x≤4 

  二、代数运算的逆过程 

  例2 有四个有理数:3,4-6,10,将这四个数进行加减乘除四则运算(每个数用且只用一次),使结果为24.请写出一个符合要求的算式。 

  分析:不妨先设想3×8=24,再考虑怎样从4,-6,10算出8,这样就找到一个所求的算式: 

  3×(4-6+10)=24 

  类似的,还有:4-(-6×10)÷3; 

  10-(-6×3+4);3(10-4)-(-6)等。 

  三、逆向应用不等式性质 

  例3 若关于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集为x<2,求a的值。 

  分析:根据不等式性质3,从反方向进行分析,得: 

  a-1<0,且a2-2=2(a-1) 

  ∴所求a值为a=0. 

  四、逆向分析分式方程的检验 

  例4 已知方程m(x+1)/(1-x2)=1有增根,求它的增根。 

  分析:这个分式方程的增根可能是x=1或x=-1 

  原方程去分母并整理,得x2+mx+m-1=0 

  如果把x=1代入,能求出m=3; 

  如果把x=-1代入,则不能求出m; 

  ∴m的值为3,原方程的增根是x=1. 

  五、图形变换的反问题 

  例5 △abc中,ab<ac,一刀剪切后可以拼成等腰梯形,请确定剪切线。 

  分析:我们曾经把梯形剪切后拼成三角形,就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180°,本题正好相反。由此得到启发,再应用等腰梯形的性质,得到如下做法: 

  作ad⊥bc,垂足为d点,在bc上截取de=bd,连结ae,则∠aeb=∠b. 

  过ac中点m作mp∥ae,交bc于p,md就是所求的剪切线。剪下△mpc,可以拼成等腰梯形abpq.