知识要点

　　一、函数的概念

　　1.函数的定义：设a、b是非空数集,如果按某个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作y＝f(x)，x∈a,其中x叫做自变量。x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)｜x∈a｝叫做函数的值域。

　　2.两个函数的相等函数的定义含有三个要素，即定义域a、值域c和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

　　3.映射的定义一般地，设a、b是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合a、b，以及集合a到集合b的对应关系f)叫做集合a到集合b的映射，记作f:a→b。

　　由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求a、b非空且皆为数集。

　　二、函数的解析式

　　求解析式的常用方法：换元法，配凑法，构造方程法，待定系数法。

　　三、函数的定义域

　　1.具体函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值集合。

　　2.抽象函数的定义域(复合函数f[g(x)])：内层函数的值域必须符合外层函数的定义域。

　　典型例题

　　例1、判断下列对应是否是映射

　　(1)a=r，b=r，f:x→y=-

　　(2)a={s|s=2m+1，m∈n}，b={t|t∈r}，f:s→t=s

　　解：(1)不是

　　∵x=0集合b中没有象与之对应。

　　(2)是。

　　说明：体会映射的概念 “都有象，象唯一”。

　　例2、已知m={a,b,c},n{1,2}

　　求：(1)m到n的映射个数，n到m的映射个数。

　　(2)满足m到n的函数有多少个。

　　解：(1)8个，9个

　　(2) c32·a22=6个

　　说明：注意分辨函数与映射的差别，映射的象集合可以存在元素没有原象，函数的集合n表示函数的值域，每一个元素都要有原象。

　　例3、求下列函数的定义域：

　　(1)y=-

　　解：-

　　x∈{x|-6≤x<-1或-1

　　说明：求解函数的定义域先由外向内列出条件不等式组再求解。

　　(2)y=1+-

　　解：-

　　x∈{x∈r|x≠-2且x≠-1}

　　说明：在求解函数的定义域时，不能先化简再求解。

　　例4、(1)已知：函数f(x)的定义域为[0，1]求：f(x2)，f(x-1)的定义域。

　　解：0≤x2≤1 ∴x∈[-1,1]；

　　- x∈(0,1]

　　说明：形如f[g(x)]已知f(x)的定义域a求复合函数的定义域。

　　令g(x)∈a解不等式。

　　(2)已知： f[lg(x+1)]的定义域为[0，9]求f(x)的定义域。

　　解：0≤x≤9,1≤x+1≤10,0≤lg(x+1)≤1,

　　∴f(x)的定义域为[0，1]

　　说明：形如f[g(x)]已知f[g(x)]的定义域a求函数f(x)的定义域。求解g(x)在x∈a的值域。

　例5、已知：f(1-cosx)=sin2x，求f(x)

　　x∈r t=1-cosx,t∈[0,2] cosx=1-t

　　解法一：

　　设sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2

　　∴f(t)=-t2+2t

　　f(x)=-x2+2x x∈[0,2]

　　解法二：

　　f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x

　　=1-[(1-cosx)2-2(1-cosx)+1]

　　=-(1-cosx)2+2(1-cosx)

　　∴f(x)=-x2+2x x∈[0,2]

　　说明：在使用换元法，配凑法求解析式时，要注意中间变量的定义域。