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教师支招:数列也是每年高考必走的“桥梁”

【 发布作者 北京家教】

  四方面分析为考生谋划“过桥策略”

  数列一章,在中学数学中地位非常重要,它是衔接初等数学和高等数学的桥梁,是高考每年必考的重要内容。内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等;它渗透了分类讨论和类比、归纳等重要的数学思想。本文结合近几年高考数学题,从四个方面对数列进行分析,希望能对本届考生数列复习提供参考。

  关于函数思想

  数列可看作特殊的函数,在复习中,处理有些数列问题要渗透函数观点,但注意它们的区别。

  例1:数列{an}中,an=n2+n为单调递增数列,求的取值范围。

  解答:可仿照研究函数单调性的思想,利用an+1>an对n∈n恒成立,可求出>-3

  例2:已知数列{an}为等差数列,a1>0,s9=s17,n=?,sn最大,最大为多少?

  解答:借助二次函数,由已知a1>0,s9=s17,公差显然小于0,则点(n,sn)所对应的函数图象为开口向下的抛物线,利用二次函数知识,n=13,sn取得最大值,最大值169/25a1

  基本量问题

  在等差(比)数列中,常会在首项a1,第n项an,项数n,公差(比)d(q),前n项和sn之间,给出一些已知条件,从而得出这五个量之间的某些关系,连同数列的通项公式及前n项和公式,可以求出其他的一些量,对于这种解题的方法应能做到熟练掌握,但在具体解决的过程中,选择合适的公式和处理技巧也非常重要。

  例3:已知等比数列{an},a3=11/2,s3=41/2,求a1与公比q。

  分析:如果用通项及求和公式(对q分q=1和q≠1讨论),显得繁琐;但如果采用方程组a1q2=11/2a1+a1q+a1q2=41/2,或a3/q2+a3/q+a3=41/2比较方便,解得a1=11/2,q=1或a1=6,q=-1/2

  数列中的运算

  已知数列{an}和{bn}都是等比数列,那么{an·bn},{an3},{1/bn}等均成等比数列,但{an+bn}不一定成等比数列,只有当这两个数列的公比相等,并且a1+b1≠0,对应的和数列才成等比数列。

  类比:例4:已知数列{an}和{bn}都是等差数列,那么{an+bn},{kan},{pan+qbn}等均成等差数列,但{an·bn}不一定成等差数列,我们可以研究两个等差数列的和数列仍为等差数列的条件。

  解答:可从特殊入手,不妨设等差数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,{an·bn}的前三项依次为a1b1,(a1+d1)(b1+d2),(a1+2d1)(b1+2d2),由已知,它们成等差数列,即2(a1+d1)(b1+d2)=a1b1+(a1+2d1)(b1+2d2),得d1·d2=0,即等差数列{an}和{bn}至少有一个是常数列,当数列{an}和{bn}有一个是常数列,即形如{kan},显然它是等差数列。从上述过程中,我们知道,如果两个等差数列均不是常数列,则其积数列一定不构成等差数列。

  研究性学习

  近几年在高考试卷中出现一些研究性问题,如数列的“基本量”问题,等和与等积数列,绝对差数列,对称数列等问题。同学们在解决此类问题时,要从题目给出的语言情景入手,紧扣定义,循序渐进地解决问题。

  例5:若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an-1…an=a1即a1=an-i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”。

  (3)对于给定的正整数m>1,试写出所有项数不超过2m的对称数列,使得1,2,22…2m-1成为数列中的连续项;当m>1500时,试求其中一个数列的前2008项和s2008。

  命题人出题的用意,要求学生在“对称数列”的背景之下,结合等差和等比数列,解决有关问题,第三问实际上是个分段数列求其前n项和sn的问题,渗透了分类讨论的数学思想,但此问高考得分率不够理想,反映学生在处理新问题的能力有待提高。

  事实上,在数列的复习中,既要重视公式的应用,还要注意计算的合理性。在处理某些数列问题时,要渗透函数观点,借助函数思想帮助解决;同时要注意新情景下的数列问题研究,有意识建立与等差数列、等比数列的联系,探讨通项和求和问题;数学思想如分类思想、特殊化思想等在数列中的考查,也是同学们在复习中必须重视的问题。